[PROBLEM]: Dikmelerin Noktadaşlığı

Matematik Dünyası Dergisi 1992/Cilt-2/Sayı-1’de Hüseyin Demir hocanın sorduğu bir problem:
“Dar açılı bir üçgende köşelerden ortik üçgenin ilgili kenarlarına çizilen dikmeler noktadaştır.”

Kanıt:

$M$ noktası, $ABC$ üçgeninin diklik merkezi olup; $BFMD$, $AFME$ ve $CDME$ kirişler dörtgenleri yardımıyla $M$ noktasının $EFD$ ortik üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğu görülür.

$A$ köşesinden $FE$ doğrusuna, $B$ köşesinden de $FD$ dikme çizip, bu dikmelerin kesiştiği noktaya $G$ diyelim ve $G$’den geçen $[CL]$’yi çizelim.

Açıların ölçülerini isimlendirdiğimizde $AGB$ üçgeninin ikizkenar üçgen olduğu görülür. $\mid BG\mid = \mid AG\mid$ olup, $m(A\widehat {G}B) = 2(\alpha + \beta)$ ve $m(A\widehat {C}B)=\alpha + \beta$ bulunur.

$m(A\widehat {G}B) = 2m(A\widehat {C}B)$ ve $ \mid BG\mid = \mid AG\mid $ olduğu için $G$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir. Bu durumda $ \mid BG\mid = \mid AG\mid = \mid GC\mid $ olur.

$GBC$ ikizkenar üçgeninde $m(A\widehat {G}B) =\beta$ olur. Bu durumda $m(D\widehat {L}C) =90^{\circ}$.
Dolayısıyla $ LC \bot ED$.

Böylelikle $ABC$ üçgeninin köşelerinden $DEF$ ortik üçgeninin kenarlarına indirilen dikmelerin noktadaş olduğu ($G$ noktasında) olduğu sonucuna varılır.