Altın Oran

i. Altın oran nedir?
ii. Altın oran nasıl hesaplanır?
iii. Cetvel ve pergel yardımıyla altın dikdörtgen ve altın spiral çizimi
iv. Altın üçgenler
v. Düzgün beşgen ve altın oran ilişkisi
vi. Altın oranla ilgili bazı özdeşlikler

# TANIM:

Herhangi bir $[AB]$ doğru parçası üzerinde alınan bir $P$ noktası için, $\frac{\left | AB \right |}{\left | AP \right |} = \frac{\left | AP \right |}{\left | PB \right |} $ eşitliği sağlanıyorsa,

$C$ noktası $[AB]$ doğru parçasını altın böler ve $\frac{\left | AB \right |}{\left | AP \right |} = \frac{\left | AP \right |}{\left | PB \right |} $ oranına Altın Oran denir.

Altın Oranın değeri $\Large \frac{1+\sqrt{5}}{2}$’dir. Altın Oran genelde $\phi$ (phi) ile gösterilir.

$\Large \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = $ $1.61803398875…….$

# ALTIN ORAN NASIL HESAPLANIR?

$\left | AP \right | = x$, $\left | PB \right | = y $ olsun.

$ \Large \frac{\left | AB \right |}{\left | AP \right |} = \frac{\left | AP \right |}{\left | PB \right |} $

$\Rightarrow \Large \frac{x+y}{x} = \frac{x}{y}$ $(I)$

Bu ifade düzenlenirse,

$ x^2-xy-y^2=0$ denklemi elde edilir.

Denklemin her iki tarafı $y^2$’ye bölünürse,

$\Large \frac{x^2}{y^2}-\frac{x}{y}$ $-1=0$ denklemi elde edilir.

Denklemde $\Large \frac{x}{y}$ $= \phi $ değişken değişimi yapılırsa, denklem

$\phi^2-\phi-1=0$ denklemine dönüşür.

$\Large \phi$’ye bağlı bu ikinci dereceden denklemin kökleri hesaplanırsa;

$\Large \phi _{1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ , $\Large \phi _{1} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ bulunur.

İki uzunluğun oranı negatif olamayacağı için el edilen oran

$\Large \phi _{1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$olup, bu orana da altın oran denir.

$\Large \phi _{1} = \frac{x}{y} = \frac{\left | AP \right |}{\left | PB \right |} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $

$ \Rightarrow \Large \frac{\left | AB \right |}{\left | AP \right |} = \frac{\left | AP \right |}{\left | PB \right |} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $

bulunur.

# ALTIN DİKDÖRTGEN

Uzun kenarının, kısa kenarına oranı altın oranı veren dikdörtgene Altın Dikdörtgen denir.

Ölçüsüz cetvel (çizgilik) ve pergel yardımıyla altın dikdörtgen çizelim.

(Bu çizimde kare, orta dikme ve dik doğru çizimlerinden bahsedilmemektedir.)

1. Adım:

Bir $ABCD$ karesi çizelim.

2. Adım:

$ABCD$ karesini orta dikme doğrusu kullanarak, iki eş dikdörtgene ayıralım.

3. Adım:

Pergelimizin sivri ucunu $E$ noktasına sabitleyip, $\left | EC \right |$ kadar açarak, $C$ noktasından geçen ve $\left | EC \right |$ yarıçaplı çemberi çiziyoruz.

4. Adım:

Cetvel yardımıyla $\left | CP \right |$ ve $\left | CK \right |$’yı çizelim.

Açı ölçülerini yerleştirdiğimizde, $PBC$ ve $CBK$ üçgenlerinin benzer olduğu görülür.

$PBC \sim CBK \Rightarrow \Large \frac{x+y}{x} = \frac{x}{y}$oranı bulunur.

$(I)$ numaralı ifadeden anlaşılacağı üzere bu oran altın oranı verir.

Son olarak, bu orana sahip dikdörtgeni çizelim.

4. Adım:

Cetvel yardımıyla $DC$ doğrusunu çizelim. Daha sonra $PK$ doğrusuna üzerindeki $K$ noktasından bir dik doğru çizelim. Bu iki doğrunun kesiştiği noktaya $L$ diyelim.

Dikkat edersek, $AKLD$ dikdörtgeninin uzun kenarı $x+y$, kısa kenarı $x$ olup, $\Large \frac{x+y}{x} = \frac{x}{y}$

olduğunu biliyoruz.

O halde $AKLD$ dikdörtgeni bir altın dikdörtgendir.

Uzun kenarının kısa kenarına oranı altın oranı yani $\Large \phi$ ‘yi verir.

$\Rightarrow \Large \frac{\left | AK \right |}{\left | LK \right |} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Altın spiral / Fibonacci spirali

Altın dikdörtgenin kısa kenarını kenar kabul eden kareler yardımıyla altın spiral çizelim:

Öncelikle $AKLD$ altın dikdörtgeninin için bir kenar uzunluğu $x$ olan kare çizelim.
Bu kareyi çizdiğimizde, kenar uzunlukları $x$ ve $y$ olan yeni bir dikdörtgen oluştuğunu görebiliriz. Bu dikdörtgen de bir altın dikdörtgendir.
Benzer şekilde bu dikdörtgenimizin için kenar uzunluğu $y$ olan bir kare çizelim.
Bu kareyi çizdiğimizde, kenar uzunlukları $x-y$ ve $y$ olan yeni bir dikdörtgen oluştuğunu görebiliriz. Bu dikdörtgen de bir altın dikdörtgendir.
Bu işlemleri art arda tekrar ettiğimizde altın dikdörtgenler ve kareler elde ederiz.
Son olarak, her bir karenin kenar uzunluğunu yarıçap kabul eden çeyrek çemberler çizdiğimizde altın spirali çizmiş oluruz.

# ALTIN ÜÇGENLER

Şimdi de Altın Üçgenler’den bahsedelim. Bahsedeceğimiz bu üçgenler $36^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ}$ ve $108^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}$ üçgenleri olup.

Bu üçgenlerde, uzun kenarın kısa kenara oranı altın oranı verir.

i.) $36^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ}$ üçgenini inceleyelim.

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarını doğrusallığını bozmayacak şekilde sola doğru $AB$ kadar uzatıp, bu noktaya $D$ diyelim.
Daha sonra $DA$ doğru parçasını çizip açıları yerleştirelim.
Bu durumda $\left | DB \right |=\left | BA \right |$ olup, $DAC$ üçgeni ikizkenar bir üçgendir.
O halde $\left | DB \right |=\left | BA \right | = x+y $’dir.

Yukarıdaki görsele dikkat edilirse, $ABC$ ve $DAC$ üçgenleri benzerdir.

$ABC \sim DAC \Rightarrow $

$\Large \frac{x+y}{x} = \frac{x}{y} $

olup, bu oran altın oranı verir.

$ \Rightarrow \Large \frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

ii.) $108^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}$ üçgenini inceleyelim.

$ABC$ üçgeninin $BA$ kenarını doğrusallığını bozmayacak şekilde uzatıp, $BCD$ ikizkenar üçgenini kuralım.
Daha sonra açıları yerleştirelim.
Bu durumda $\left | DC \right |=\left | AC \right |$ olup, $DBC$ üçgeni ikizkenar bir üçgendir.
O halde $\left | DB \right |=\left | BA \right | = x $ ve $\left | DC \right |=y $’dir.

Görsele dikkat edilirse, $36^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ}$ üçgenini inşa etmiş olduk.

$36^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ}$ üçgeninden biliyoruz ki;

$\Large \frac{x+y}{x} = \frac{x}{y} $

olup, bu oran altın oranı verir.

$ \Rightarrow \Large \frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

# DÜZGÜN BEŞGEN VE ALTIN ORAN

Düzgün beşgenin bir dış açısının ölçüsü $\Large \frac{360}{5}$ $ = 72^{\circ}$’dir. Dış açısının ölçüsü $72^{\circ}$ olduğuna göre bir iç açısının ölçüsü $108^{\circ}$’dir.

$ABCDE$ düzgün beşgeninin bütün köşegenleri çizilirse içinde yeni bir $KLMNP$ düzgün beşgeni oluşur. Bu düzgün beşgenlerin alanlarının oranını bulmak için, altın orandan yardım alalım. İçerde oluşan küçük düzgün beşgenin bir kenar uzunluğuna $1$ br diyelim.
$EPN$ üçgeni bir altın üçgen olduğu için $\left |EN \right |=\phi$ bulunur. $END$ altın üçgeninin kısa kenarı $\phi$ olduğuna göre uzun kenarı yani düzgün beşgenin bir kenar uzunluğu olan $\left |ED \right |=\phi^{2}$ olarak bulunur.

Büyük düzgün beşgenin bir kenar uzunluğu $\phi^{2}$ br , küçük düzgün beşgenin bir kenar uzunluğu $1$ br’dir.
Düzgün beşgenler benzer olduğu için, benzerlik oranının karesi alanlarının oranını verir.
O halde

$\Large \frac{A(ABCDE)}{A(KLMNP)} = (\phi ^{2})^{2} =\phi ^{4}$

$\Rightarrow (\Large \frac{1+\sqrt{5}}{2})^{4} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} $

sonucuna ulaşılır.

# ALTIN ORAN VE BAZI ÖZDEŞLİKLER:

Yazının en başında, altın oran tanımı gereği $\phi^2-\phi-1=0$ denklemine ulaşmıştık. Bu denklemin pozitif kökü olan $\phi$ altın oran olup,

$\Large \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ olduğunu bulmuştuk.

Altın oranın kuvvetleri ve Fibonacci dizisi:

$\phi^2-\phi-1=0$ denklemini düzenlersek $\phi^2 =\phi + 1$ elde edilir. $\phi^2$ yerine $\phi + 1$ yazdığımızda aşağıdaki ilginç özdeşliklerle karşılaşırız.

$
{\color{Red} \phi}^{\color{Red}2} ={\color{Red}1} {\color{Red} +} {\color{Red}\phi}
\\\\
{\color{Red} \phi } ^{{\color{Red}3}} = (\phi^2).\phi = (\phi + 1).\phi = \phi^2 + \phi = {\color{Red}1}{\color{Red}+}{\color{Red}2}{\color{Red}\phi }
\\\\
{\color{Red} \phi} ^{\color{Red}{4} } = (\phi^3).\phi = (1+2\phi).\phi = 2\phi^2 + \phi =2\phi+ 2+ \phi = {\color{Red} 2} {\color{Red}+} {\color{Red}3} {\color{Red}\phi }
\\\\
{\color{Red} \phi} ^{\color{Red}{5} } = (\phi^4).\phi = (2+3\phi).\phi = 3\phi^2 + 2\phi =3\phi+ 3+ 2\phi = {\color{Red} 3}{\color{Red}+}{\color{Red}5}{\color{Red}\phi }
\\\\
{\color{Red} \phi} ^{{\color{Red}6} } = (\phi^5).\phi = (3+5\phi).\phi = 5\phi^2 + 3\phi =5\phi+ 5+ 3\phi = {\color{Red} 5}{\color{Red}+}{\color{Red}8}{\color{Red}\phi}
\\\\
{\color{Red} \phi} ^{{\color{Red}7}} = (\phi^6).\phi = (5+8\phi).\phi = 8\phi^2 + 5\phi =8\phi+ 8+ 5\phi = {\color{Red} 8}{\color{Red}+}{\color{Red}1}{\color{Red} 3}{\color{Red}\phi }
\\\\
…….\\
….\\
..\\
.\\
$

Yukarıdaki özdeşliklere dikkat edecek olursak, özdeşliğin sağ tarafında $\phi$’nin katsayıları ve hatta diğer doğal sayılar Fibonacci dizisinin terimlerini verir.

Altın oranın sonsuz kökler toplamı olarak ifadesi:

$\phi^2 =\phi + 1$

Her iki tarafın karekökünü alalım:

$\phi = \sqrt{1+\phi}$

Bu denklemde $\phi$ yerine $\sqrt{1+\phi}$ yazalım.

$\phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\phi}}$ dönüşür. Bu değişken değiştirme işlemini tekrar edelim:

$\phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\phi}}}$

$\phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\phi}}}}$

$\phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\phi}}}}}$

görüldüğü üzere $\phi$ devreden bir ifade olup, sonsuz kökler biçiminde yazılabilir.

$ \phi = $ $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+….}}}}}$

olarak bulunur.

Altın oranın sürekli kesirler biçiminde ifadesi:

$\phi ^{2} = \phi +1 $ eşitliğin her iki tarafını $\phi$’ye bölelim.

$\phi = 1+$ $\Large\frac{1}{\phi }$ elde edilir.

$\phi$ yerine $1+$ $\Large\frac{1}{\phi }$ yazarak ilerlersek

$\phi = 1+$ $\Large\frac{1}{1+\frac{1}{\phi } }\\\\$

$\phi = 1+$ $\Large\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\phi } } }\\\\$

$\phi = 1+$ $\Large\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\phi } } } }\\$
$….$

$…$

$..$

$ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ = $1+$ $\Large\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{…}}} } } } }
\\$

sürekli kesir biçiminde yazılabilir.