Ceva Teoremi

$$\frac{\left |AF \right |}{\left |FB \right |}.\frac{\left |BD \right |}{\left |DC \right |}.\frac{\left |CE \right |}{\left |EA \right |}=1$$

olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

$A$ noktasından başlayarak şekildeki gibi Menelaus Teoremi uygularsak:

$$\frac{\left |AF \right |}{\left |AB \right |}.\frac{\left |BD \right |}{\left |DC \right |}.\frac{\left |CP \right |}{\left |PF \right |}=1$$
bulunur.

$B$ noktasından başlayarak şekildeki gibi Menelaus Teoremi uygularsak:
$$\frac{\left |FB \right |}{\left |AB \right |}.\frac{\left |EA \right |}{\left |CE \right |}.\frac{\left |CP \right |}{\left |PF \right |}=1$$
bulunur.

Bulduğumuz her iki eşitliği oranlarsak
$$\frac{\left |AF \right |}{\left |FB \right |}.\frac{\left |BD \right |}{\left |DC \right |}.\frac{\left |CE \right |}{\left |EA \right |}=1$$
sonucuna ulaşılır. Eşitliği biraz daha düzenlersek son olarak $$\left |AF \right |.\left |BD \right |.\left |CE \right |=\left |FB \right |.\left |DC \right |.\left |EA \right |$$ yazabiliriz.

NOT: Ceva Teoremi’nin karşıtı da doğrudur. $\left |AF \right |.\left |BD \right |.\left |CE \right |=\left |FB \right |.\left |DC \right |.\left |EA \right |$ eşitliği geçerliyse, $AD$, $BE$ ve $CF$ doğruları bir noktada kesişir (noktadaştır).