Ağırlık merkezi ve Kenarortay Teoremi

$i. \quad$ Üçgende kenarortayların bir noktada kesiştiğini ve $G$ noktasının kenarortayları $ 2:1$ oranında böldüğünü gösteriniz.

$ii. \quad 2V_{a}^{2} =b^{2}+c^{2}-\large\frac{a^{2}}{2}$ olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

I. Metod

$i.\quad$Kenarortayların bir noktada kesiştiğini göstermek için $G$ noktasından geçen $AD$ doğrusunun kenarortay olduğunu göstermemiz yeterlidir.

Bunun için Ceva Teoremi‘ni kullanalım:

$$\frac{\left |AF \right |}{\left |FB \right |}.\frac{\left |BD \right |}{\left |DC \right |}.\frac{\left |CE \right |}{\left |EA \right |}=1$$
$$\left |AF \right |=\left| FB \right |, \left |CE \right |=\left| EA \right | \Rightarrow \left |BD \right |=\left| DC \right |$$
$\left |BD \right |=\left| DC \right |$ olduğuna göre $AD$ de bir kenarortaydır. O halde Üçgende kenarortaylar bir noktada ($G$) kesişir. Bu noktaya üçgensel bölgenin ağırlık merkezi denir.

Şimdi de $G$ noktasının kenarortayları $2:1$ oranında böldüğünü gösterelim, bunun için Menelaus Teoremi‘ni kullanalım:

Görselde görüldüğü gibi $A$ noktasından başlayarak Menelaus Teorem’ini uygularsak:

$$\frac{\left |AF \right |}{\left |FB \right |}.\frac{\left |BD \right |}{\left |DC \right |}.\frac{\left |CG \right |}{\left |GF \right |}=1$$
$$\left |AF \right |=\left| FB \right |, \left |BD \right |=\left| DC \right | \Rightarrow \left |GC \right |=2\left| GF\right |$$
Benzer şekilde Menelaus Teoremi kullanarak $\left |BG \right |=2\left| GE\right |$, $\left |AG \right |=2\left| GD\right |$
sonucuna ulaşılır.
$$\Rightarrow \frac{\left |AG \right |}{\left |GD \right |}=\frac{\left | BG \right |}{\left |GE \right |}=\frac{\left |CG \right |}{\left |GF \right |} = 2$$

II. Metod

$i.\quad$

$BE$’yi uzatıp, $A$ noktasından $AP//FC$ olacak şekilde $AP$ doğrusunu çizdiğimizde $EAP\cong ECG$ olduğu görülür.

$EAP\cong ECG$ olduğuna göre $\left |AP \right | = \left |GC \right |$, $ \left |EP \right | = \left |EG \right |$’dir.

$\left |FG \right |$, $ABP$ üçgeninde orta taban olup; $\left |AP \right | = \left |GC \right | = 2\left |FG \right |$, $\left |BG \right | = \left |GP \right |$ ve $\left |BG \right | = 2\left |GE \right |$’dir.

Şimdi de $\left |AG \right | = 2\left |GD \right |$ ve $\left |BD \right | = \left |DC \right |$ olduğunu gösterip, bitirelim:

$PC$ doğru parçasını çizersek, $EAG \cong ECP$ olduğu görülür. Bu da $PC//AD$, $\left |PC \right | = \left |AG \right |$ olduğunu gösterir.

$\left |BG \right | = \left |GP \right |$, ve $PC//AD$ olduğu için $DG$, $APC$ üçgeninde orta tabandır.

Bu durumda $\left |PC \right | = \left |AG \right | = 2\left |GD \right |$ ve $\left |BD \right | = \left |DC \right |$’dir.

Sonuç olarak üçgende kenarortaylar bir noktada kesişir. Kenarortayların kesiştiği nokta olan $G$ noktası, üçgensel bölgenin ağırlık merkezi olup, kenarortayları $2:1$ oranında böler.

$ii.\quad$Bu şıkkın kanıtı için Stewart Teoremi veya Kosinüs Teoremi‘nden yararlanabiliriz. Kosinüs Teoremi ile kanıtlayalım:

$a$ kenarına ait kenarortay $V_{a}$ olmak üzere,

$ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinde Kosinüs Teoremi uygularsak

$$c^{2}=V_{a}^{2}+(\frac{a}{2})^{2}-2.V_{a}.\frac{a}{2}.cos\alpha$$

$$b^{2}=V_{a}^{2}+(\frac{a}{2})^{2}-2.V_{a}.\frac{a}{2}.cos(180^{\circ}-\alpha)$$

Her iki denklemi taraf tarafa toplarsak

$$b^{2}+c^{2}=2V_{a}^{2}+\frac{a^{2}}{2}; \quad cos\alpha = -cos(180^{\circ}-\alpha)$$

$$\Rightarrow \quad 2V_{a}^{2} =b^{2}+c^{2}-\frac{a^{2}}{2}$$

$$\Rightarrow \quad 2V_{b}^{2} =a^{2}+c^{2}-\frac{b^{2}}{2}$$

$$\Rightarrow \quad 2V_{c}^{2} =a^{2}+b^{2}-\frac{c^{2}}{2}$$

Sonuçlar:

1.

Kenarortaylar ve kenarlar arasındaki bağıntıyı bulalım.

$$ \quad 2V_{a}^{2} =b^{2}+c^{2}-\frac{a^{2}}{2}$$

$$ \quad 2V_{b}^{2} =a^{2}+c^{2}-\frac{b^{2}}{2}$$

$$ \quad 2V_{c}^{2} =a^{2}+b^{2}-\frac{c^{2}}{2}$$

ifadelerini taraf tarafa toplarsak:

$$ 2(V_{a}^{2}+V_{b}^{2}+V_{c}^{2}) = \frac{3a^{2}}{2}+\frac{3b^{2}}{2}+\frac{3c^{2}}{2}$$
$$\Rightarrow \quad 4(V_{a}^{2}+V_{b}^{2}+V_{c}^{2}) = 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) $$

2.

Dik üçgende kenarortay teoremlerini kullanarak kenarortaylar arasındaki bağıntıyı bulalım.

$ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC})=90^{\circ}$ olursa:

$$m(\widehat{BAC})=90^{\circ} \Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}, \quad V_{a}=\frac{a}{2}$$
$$4(V_{a}^{2}+V_{b}^{2}+V_{c}^{2}) = 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$$
ifadesinde $b^{2}+c^{2}$ yerine $a^{2}$, $a$ yerine $2V_{a}$ yazarsak;

$$4(V_{a}^{2}+V_{b}^{2}+V_{c}^{2}) = 24V_{a}^{2}$$
$$5V_{a}^{2} = V_{b}^{2}+V_{c}^{2}$$ sonucuna ulaşılır.