Fibonacci Dizisi ve Altın Oran İlişkisi

Fibonacci dizisindeki bir terimin kendisinden bir önceki terime oranını inceleyelim ve terim büyüdükçe bu oranın altın orana yaklaştığını gösterelim.

Fibonacci dizisindeki her bir sayı, kendisinden önceki ardışık iki sayının toplamına eşittir.

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……$Bunu formülize edecek olursak;

$F_{1} = F_{2} =1\\
F_{3} =F_{1}+F_{2}=2 \\
F_{4} = F_{2}+F_{3}= 3\\
F_{5} = F_{3}+F_{4}=5\\
F_{6} = F_{4}+F_{5}=8\\
….\\
… \\
..\\
F_{n+1} = F_{n-1} + F_{n}; (n\geqslant2)$diyebiliriz.

Şimdi de, Fibonacci dizisi ve altın oran ilişkisini inceleyelim:

Fibonacci dizisindeki bir sayı, kendisinden önce gelen sayıya bölündüğünde altın orana yakın bir değer verir. Sayı büyüdükçe bu oran, altın orana yaklaşır. Birkaç temel örnek üzerinden inceleyelim.

$\Large \frac{8}{5}$ $= 1.6 ,\quad$ $\Large \frac{13}{8}$ $= 1.625,\quad$ $\Large \frac{21}{13}$ $= 1.615..,\quad $ $\Large \frac{10946}{6765} $ $ = 1.6180339…,\quad….$ $\Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}},….$

Bu öngörüyü matematiksel olarak kesinleştirelim.

$F_{n+1} = F_{n-1} + F_{n}$ ifadesinde

$n$ yerine $n-1$ yazarsak, $F_{n}$ ve $F_{n-1}$’i elde ederiz.

Fibonacci dizisindeki her sayı, önceki ardışık iki terimin toplamı olduğu için

$F_{n+1} = F_{n-1}+F_{n} \\\\$

$ \Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$ = $ \Large\frac{F_{n-1}+F_{n}}{F_{n}}\\\\$

$ \Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$ = $ \Large\frac{F_{n-1}}{F_{n}}$$+1 \quad (I)$

yazabiliriz.

Şimdi de limit yardımıyla $\lim_{n\rightarrow \infty } \Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$ $ = \phi $ olduğunu gösterelim.

$\lim_{n\rightarrow \infty } \Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$ $=$$ \lim_{n\rightarrow \infty } \Large\frac{F_{n}}{F_{n-1}} $ $=K$$\lim_{n\rightarrow \infty }$ $\Large\frac{F_{n-1}}{F_{n}}$ $+1 =$$ \lim_{n\rightarrow \infty } \Large\frac{F_{n}}{F_{n-1}} $ $\quad (I)$

$\Large \frac{1}{K}$$+1=K$

$K^{2}-K-1=0$

$K= \Large \frac{1\pm\sqrt{5} }{2}$

Fibonacci dizisinin bütün terimleri pozitif sayı olduğu için aradığımız oran da pozitif olmalı. Dolayısıyla

$K= \Large \frac{1+\sqrt{5} }{2} $bulunur.

$\lim_{n\rightarrow \infty } \Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$ $ = \Large \frac{1+\sqrt{5} }{2} = \phi $Görüldüğü üzere Fibonacci dizisinin limiti altın oranı verir.

GÖRSEL: