İç açıortay teoremleri ve iç teğet çember

$ABC$ üçgeninde $AD$ iç açıortay olmak üzere;

$i.\quad$ Herhangi bir üçgenin iç açıortaylarının tek bir noktada (noktadaş) kesiştiğini gösteriniz.

$ii.\quad \Large \frac{\left | AB \right |}{\left | AC \right |} = \frac{\left | BD \right |}{\left | DC \right |}$

$iii.\quad \left | AD \right |^{2} = \left | AB \right |\left | AC \right | – \left | BD \right |\left | DC \right |$

olduğunu gösteriniz.

KANIT:

$i.$

$ B\widehat {A}C$ açısının açıortayı ve $C\widehat {B}A$ açısının açıortayının kesiştiği noktaya $O$ noktası diyelim. $[CO $ ışınının açıortay olduğunu göstermemiz, açıortayların tek bir noktada kesiştiğini göstermeye yetecektir.

$O$ noktasından $AB$, $BC$ ve $AC$ kenarlarına indirdiğimiz dikme ayakları sırasıyla $D$, $E$ ve $F$ olsun. Açı-kenar-açı eşliği gereğince $ADO\cong AFO$ olup, $\left | OD \right |= \left | OF \right |$ bulunur.

Benzer şekilde $BDO\cong BEO$ olup, $\left | OD \right |= \left | OE \right |$ bulunur.

Dolayısıyla $\left | OD \right |= \left | OF \right | = \left | OE \right |$ ‘dir.

$OFC$ ve $OEC$ üçgenlerine dikkat edilirse; $\left | OF \right | = \left | OE \right |$, $\left | CO \right |$ ortak kenar ve $m(O\widehat{F}C) = m(O\widehat{E}C) = 90^{\circ}$ olduğu için bu üçgenler de eş üçgenlerdir.

$$OFC\cong OEC \quad \Rightarrow \quad m(O\widehat{C}F) = m(O\widehat{C}E)$$
O halde $[CO $ ışını da bir açıortay olup, bu da üçgende iç açıortayların tek bir noktada yani $O$ noktasında kesiştiğini gösterir.

İç teğet çember / İç merkez:

Düzlemde, doğrusal olmayan farklı üç noktadan bir tek çember geçer ve bu üç noktaya eşit uzaklıktaki nokta, bu çemberin merkezidir.

O halde $D$, $E$, $F$ noktalarından bir tek çember geçer ve $\left | OD \right |= \left | OF \right | = \left | OE \right |$ olduğu için bu çemberin merkezi $O$ noktasıdır. $O$ merkezli bu çembere iç teğet çember denir. ABC üçgeninin kenarlarına içten teğet olup, $O$ noktasına da $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi veya iç merkezi denir.

Sonuçlar:

1. $AOB$, $AOC$ ve $BOC$ üçgenlerinin $AB$, $AC$ ve $BC$ kenarlarına ait yükseklik uzunlukları iç teğet çemberin yarıçap uzunluğuna ($r$) eşit olduğu için bu üçgenlerin alanları sırasıyla $AB$, $AC$ ve $BC$ ile orantılıdır.
$$Alan(AOB) : Alan(AOC) : A(BOC) = \left | AB \right | : \left | AC \right | : \left | BC \right |$$

2. $r$: iç teğet çemberin yarıçap uzunluğu olmak üzere,
$$Alan(ABC)=Alan(ABO)+Alan(ACO)+Alan(BCO)$$
$$Alan(ABC)=\frac{\left | AB \right |.r}{2}+\frac{\left | AC \right |.r}{2}+\frac{\left | BC \right |.r}{2}$$
$$Alan(ABC)=\frac{\left | AB \right |+\left | AC \right |+\left | BC \right |}{2}.r$$
$$Alan(ABC)=\frac{Çevre(ABC)}{2}.r, \quad u= \frac{Çevre(ABC)}{2} $$
$$ \Rightarrow \quad Alan(ABC)=u.r $$

 

$ii.$

$$ Alan(ABD)=\frac{\left | AB \right |.h}{2}, \quad Alan(ACD)=\frac{\left | AC \right |.h}{2}$$
$$\frac{Alan(ABD)}{Alan(ACD)}=\frac{\left |AB \right |}{\left | AC \right |} \quad(I)$$
$$Alan(ABD)=\frac{\left | BD \right |.h_{a}}{2}, \quad Alan(ACD)=\frac{\left | DC \right |.h_{a}}{2}$$
$$\frac{Alan(ABD)}{Alan(ACD)}=\frac{\left |BD \right |}{\left | DC \right |} \quad(II)$$
$(I)$ ve $(II)$ nolu denklemlerden
$$ \frac{\left | AB \right |}{\left | AC \right |} = \frac{\left | BD \right |}{\left | DC \right |}$$
bulunur.

$iii.$

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberini çizelim. $AD$ doğrusunun çemberi kestiği noktaya $P$ diyelim.
$$DAB \sim DCP \quad\Rightarrow\quad \frac{\left | AD \right |}{\left | DC \right |}=\frac{\left | BD \right |}{\left | DP \right |} $$
$$\Rightarrow \quad\left | AD \right |.\left | DP \right |=\left | BD \right |.\left | DC \right |\quad (I)$$
$$DAB \sim CAP \quad\Rightarrow\quad \frac{\left | AB \right |}{\left | AP \right |}=\frac{\left | AD \right |}{\left | AC \right |}$$

$$\frac{\left | AB \right |}{\left | AD \right |+\left | DP \right |}=\frac{\left | AD \right |}{\left | AC \right |};\quad \left | AP \right |=\left | AD \right |+\left | DP \right |$$
$$\left | AD^{2} \right |+\left | AD \right |.\left | DP \right |=\left | AB \right |.\left | AC \right |$$
$$\left | AD^{2} \right |=\left | AB \right |.\left | AC \right |-\left | BD \right |.\left | DC \right |;\quad (I)$$