Kosinüs Teoremi

$ABC$ üçgeninde $a$, $b$, $c$ kenar uzunlukları, $\alpha$, $\beta$, $\theta$ iç açılarının ölçüleri olmak üzere;
$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\alpha$$ $$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac.cos\beta$$ $$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.cos\theta$$
olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

$C$ köşesinden $AB$ kenarına dikme indirdiğimiz dikme ayağına $D$ dersek,
$$sin\alpha = \frac{\left |DC \right |}{b} \Rightarrow \left |DC \right |=b.sin\alpha$$
$$cos\alpha = \frac{\left |AD \right |}{b} \Rightarrow \left |AD \right |=b.cos\alpha$$
$DBC$ üçgeninde Pisagor Teoremi uygularsak

$$a^{2} = (c-b.cos\alpha)^{2} + (b.sin\alpha)$$
$$a^{2} = c^{2}-2bc.cos\alpha+b^{2}(sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha)$$
$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\alpha$$