$ABCD$ bir kirişler dörtgeni olmak üzere; ……………………………………………………………….. …………………………..
$$\left | AC \right |.\left | DB \right |= \left | BA \right |.\left | DC \right |+\left | BC \right |.\left | DA \right |$$
olduğunu gösteriniz.
Kanıt:
$m(\widehat{DCA})>m(\widehat{ACB})$ olsun. Bu durumda $[DB]$ üzerinde $m(\widehat{DCP})=m(\widehat{ACB})$ olacak şekilde bir $P$ noktası seçilebilir. $[PC]$ çizilip açıların ölçüleri yerleştirildiğinde $PDC\sim BAC$ olduğu görülür. O halde
$$\frac{\left | DP \right |}{\left | BA \right |} = \frac{\left | DC \right |}{\left | AC \right |} $$
$$\left | AC \right |.\left | DP \right |=\left | BA \right |.\left | DC \right | \quad (I)$$
Yine yukarıdaki görsele dikkat edilirse, $PCB \sim DCA$ olduğu görülür. Bu durumda
$$\frac{\left | BP \right |}{\left | DA \right |} = \frac{\left | BC \right |}{\left | AC \right |} $$
$$\left | AC \right |.\left | PB \right |=\left | BC \right |.\left | DA \right | \quad (II)$$
$(I)$ ve $(II)$ numaralı denklemler taraf tarafa toplanırsa,
$$\left | AC \right |.(\left | DP \right |+\left | PB \right |)= \left | BA \right |.\left | DC \right |+\left | BC \right |.\left | DA \right |$$
$$\left | AC \right |.\left | DB \right |= \left | BA \right |.\left | DC \right |+\left | BC \right |.\left | DA \right |$$
sonucuna ulaşılır.